数学包装纸题 综合应用4包装中的数学问题

数学问题

不剪开白卡纸，如何用一张白卡纸做2个盒身？是不是想说，不能有残留的小白卡纸片？

首先可以计算一下20张白卡纸，最多可以做多少个包装盒。

做一个盒身需要1/2张，做一个底盖需要1/3张。

做一个包装盒需要：1/2+2/3=7/6张

20/(7/6)=120/7=17+1/7

最多能做17个包装盒。

再来计算“不剪开”白卡纸的分法：

2张做6个底盖，配3个盒身

3张做6个盒身，需要4张做12个底盖。所以7张可以做6个包装盒。14张可以做12个包装盒。

剩下6张白卡纸。

最后看看“剪一张”的情况：

用3张做9个底盖，2张做4个盒身，将最后一张的一半做一个盒身，再用1/3张做一个底盖。一共可以做12+5=17个包装盒。

还剩1-1/3-1/2=1/6张白卡纸。

小学五年级数学题

1.符合要求的包装箱有很多种，其中一种是:

长:40厘米，宽:36厘米，高:18厘米

2.当包装箱是--长:20厘米，宽:36厘米，高:36厘米

这种包装箱的用料是最少的，其表面积是:

2×(20×36+36×36+36×20)=5472(平方厘米)

分析:

设符合要求的包装箱的长、宽、高分别是:20a厘米、12b厘米、6c厘米

其中a、b、c是整数，且abc=18

则包装箱的表面积为:

S=2×(20a·12b+12b·6c+6c·20a)

=2×24(10ab+3bc+5ac)

=48(10×18/c+3×18/a+5×18/b)

=48×18(10/c+3/a+5/b)

=864(3/a+5/b+10/c)

根据a、b、c的不同取值，可以得到(3/a+5/b+10/c)的不同结果，

从而求出相应的表面积S。

a=

b=

c=

(3/a+5/b+10/c)=

1

1

18

3+5+10/18=8又9分之5

1

2

9

3+5/2+10/9=6又18分之11

1

3

6

3+5/3+10/6=6又3分之1----这是最小的

1

6

3

3+5/6+10/3=7又6分之1

1

9

2

3+5/9+5=8又9分之5

1

18

1

3+5/18+10=13又18分之5

2

1

9

3/2+5+10/9=7又18分之11

2

3

3

3/2+5/3+10/3=6又2分之1

2

9

1

3/2+5/9+10=12又18分之1

3

1

6

1+5+10/6=7又3分之2

3

2

3

1+5/2+10/3=6又6分之5

3

3

2

1+5/3+5=7又3分之2

3

6

1

1+5/6+10=11又6分之5

6

1

3

3/6+5+10/3=8又6分之5

6

3

1

3/6+5/3+10=12又6分之1

9

1

2

3/9+5+5+10又3分之1

9

2

1

3/9+5/2+10=12又6分之5

18

1

1

3/18+5+10=15

又6分之1

从表中可以看出，当a=1，b=3，c=6时，(3/a+5/b+10/c)的值最小

答:符合要求的包装箱可以是:

长:20厘米，宽:12厘米，高:108厘米

长:20厘米，宽:24厘米，高:54厘米

长:20厘米，宽:36厘米，高:36厘米----这是最小的

长:20厘米，宽:72厘米，高:18厘米

长:20厘米，宽:108厘米，高:12厘米

长:20厘米，宽:216厘米，高:6厘米

长:40厘米，宽:12厘米，高:54厘米

长:40厘米，宽:36厘米，高:18厘米

长:40厘米，宽:108厘米，高:6厘米

长:60厘米，宽:12厘米，高:36厘米

长:60厘米，宽:24厘米，高:18厘米

长:60厘米，宽:36厘米，高:12厘米

长:60厘米，宽:72厘米，高:6厘米

长:120厘米，宽:12厘米，高:18厘米

长:120厘米，宽:36厘米，高:6厘米

长:180厘米，宽:12厘米，高:12厘米

长:180厘米，宽:24厘米，高:6厘米

长:360厘米，宽:12厘米，高:6厘米

当包装箱是--长:20厘米，宽:36厘米，高:36厘米

这种包装箱的用料是最少的，其表面积是:

2×(20×36+36×36+36×20)=5472(平方厘米)

综合应用4包装中的数学问题

（一）具体目标

1．有综合运用数与运算、空间与图形、统计与概率等相关知识解决一些简单实际问题的成功体验,初步树立运用数学解决问题的自信心.

2．获得综合运用所学知识解决简单实际问题的活动经验和方法.

3．初步感受数学知识间的相互联系,体会数学的作用.

（二)案例

例1设计合适的包装方式.

（1）现有4盒磁带,有几种包装方式?哪种方式更省包装纸?（重叠处忽略不计）

（2）若有8盒磁带,哪种方式更省包装纸?（重叠处忽略不计）

说明这是生活中常见的问题,通过解决这类问题可以培养学生综合运用所学知识解决实际问题的能力.

例2上海的电视塔有多高?北京的电视塔有多高?它们的高度大约分别相当于几个教室的高度?分别相当于多少个学生手拉手的长度?还有什么样的办法可以形象地描述电视塔的高度?

说明这个问题可以加深学生对大数的感知与认识,进一步发展数感.同时,学生还能学习如何通过询问、查阅资料等调查方式来收集数据.

瓦楞纸箱包装的瓦楞纸箱包装设计

瓦楞纸箱包装设计要素的确定

在做商品瓦楞纸箱包装设计时，设计师首先碰到这几个问题：

1.一个瓦楞纸箱包装内装产品数量与单箱重量究竟多少为宜？如何来确定？

2.依据什么确定纸箱产品的内部排列方式，如何选择最好的排列组合？

3.所设计的箱体长宽高尺寸是否有利于增强纸箱强度和节省原材料？

4.所设计的瓦楞纸箱包装是否具有生产适用性？

瓦楞纸箱包装内装产品的数量、重量、排列，纸箱内外尺寸，以及瓦楞纸板材料规格等要素，这些都是首要的考虑内容，因为它们最终决定了包装纸箱的制造、容纳、储运、使用的效率、经济性和总体功能。

单箱重量

根据国际贸易惯例，作为消费品运输包装的瓦楞纸箱的单箱重量一般不超过20 kg为宜，最大25 kg。主要考虑到搬运工或店员的操作方便，不容易导致人体损伤等因素。我国国家标准对人工搬运的单件包装箱最大重量规定为18 kg。据此，一般消费产品的瓦楞纸箱货物的单件重量限定为20 kg当属比较合理。

当然，大中型工业产品的缓冲运输包装纸箱不应受此限制。

由内装产品的数量乘以产品单位重量可计算得到包装货物净重，整个纸箱货物重量（毛重）当然还要包含纸箱本身材料和隔衬材料的重量（皮重）。

需要说明的是，按贸易惯例规定单箱重量不大于20kg为宜。但若设计纸箱的单箱重量过小也不明智，因为小的纸箱所容纳的产品数少，材料相对耗用率高，又经历与大箱差不多的制造过程，小箱的生产、使用、包装的总体效率不如大箱。所以，只要有可能，应尽量接近20kg为好，以发挥最大功能。

内容物的数量

瓦楞纸箱包装内装产品的数量主要由纸箱最大允许重量除以产品的单位重量来计算确定。

由于要顾及内部产品的长、宽、高三个方向的排列（它决定了纸箱的综合尺寸），所以，内装物数量也不是可随意选择或确定的。设计时一般可考虑几个不同的数量方案，然后根据既合乎重量限定，又有利于排列方式可灵活调整的原则来确定。

具体来说，内装物品件数应该选择分解因子较多的数值，这样有利于长宽高尺寸的调整。举例来说，7、11、13、17、19、23、29、41、43、47……都不宜选择，因为这些数分解因子只有1和其自身，没有别的更多排列法。相反地，如选12件，12=1×2×2×3，就有12×1×1、6×2×1、4×3×1、3×4×1、3×2×2、6×1×2等许多种可用的长宽高排列方式。而如选10件，10=1×2×5，可用的长宽高排列方式就比12要少得多。所以，在相差不太大的几个数值之间，一般应该选择可分解因子较多的数值。市场上的商品数量传统组合以12（一打）或其倍数用得比较多，显然有利于流通环节的模数化与标准化。

内容物的排列方式

指产品在纸箱内部的长宽高三个方向上的具体排列数。

实际上，在确定内装物数量的时候，已经考虑到产品的内部排列了。这里除了数的选择外，还涉及到纸箱的结构强度、用料量等问题。

长宽高方向排列，首先要考虑到箱体外部尺寸应合乎根据人体工学原理得出的限度。

根据纸箱强度试验，在同样周边长下，瓦楞纸箱的长宽比在1.2~ 1.6之间，其抗压强度为最好。同样综合尺寸（长宽高之和）下，随着瓦楞纸箱的高度增加，其抗压强度减弱，因为堆码载荷主要分配在直立箱板上。

事实上，当采用顶部开启的箱型时，高度方向的尺寸选择余地不大。因为产品层数越多，箱体高度增加，既不方便于取物，且也不利于确保足够的抗压强度。

但若过小的高度，也有负面作用。此时用于非承载面（顶面与底面）的材料与用于承载直立箱面的材料这两者之比值，较高度大的箱体要高，故纸箱材料效能利用率差。从0200的箱坯展开图知，同样的容积下，高度小的纸箱，其相对用料率大。

箱体外部尺寸

除了特殊形状或大型工业品的运输箱，一般商品瓦楞纸箱的运输搬运中人力介入在所难免，许多消费商品在进店上柜过程中，还需要店员搬运或开箱。如果纸箱外部尺寸不合理，怀抱空间体过大，使手臂腰部用力紧张，行走困难，会导致人的操作疲劳或损伤。日本学者曾做过对不同重量、尺寸的纸箱货物的搬运试验，通过测量人体在搬运过程中心肺与肌肉等指标，推算人体的工作效率变化和疲劳极限，从而得到合乎人体工学原理的箱体外形尺寸。

一般货物纸箱的长度尺寸，长度加宽度尺寸，长宽高综合尺寸应该作如下限制：

下面介绍瓦楞纸箱包装尺寸的具体计算方法。

由单件产品的外部（某个方向）最大尺寸乘以此方向上的排列数，再加上衬垫材料的厚度、产品间隙公差等，就可以得到箱内（某个方向）最大尺寸Xi。

Xi= xmax n+ d(n-1)+ T+ ki

xmax为内装物单件最大外尺寸；

n为产品排列数量；

d为内装产品间公差（或间隙）数（小型箱取±1mm/件间，中型箱取±2mm/件间，软性物品取±3mm/件间，硬质物品取+2mm/件间）；

T为产品间隔档或衬垫材料厚度之和；

ki为内尺寸修正系数（L方向取5，B方向取5，H方向:小箱取2，中箱取4，大箱取6）。

纸箱制造尺寸X，是制造时模切压线要用到的尺寸，即箱坯展开图上所标注的尺寸。它是由内尺寸加上瓦楞纸板的厚度，再加上一定的修正数形成。长宽方向制造尺寸的修正数各有两个值，这是因为箱坯围折成型时叠合（钉或粘）部分箱壁厚度有所增加，但是又必须保证成型后箱内空间的几何方正度。

X= Xi+ km

Km为制造尺寸修正数，与瓦楞纸板厚度有关，即纸板厚度加一公差数，见表1。

表1 0200类瓦楞纸箱制造尺寸系数Km（单位：mm）

瓦楞纸箱包装成型后形成其外部最大尺寸，叫纸箱外部尺寸X0，也是运输纸箱外面标示尺寸。它是由制造尺寸加上纸板厚度，再加上一定的修正数形成。

Xo= X+ ko= xmaxn+d(n-1)+T+ki+km+ko

ko为外部尺寸修正数，与瓦楞纸板厚度有关，见表2。

表2瓦楞纸箱外尺寸修正系数Ko（单位：mm）

瓦楞纸箱包装材料

纸箱抗压强度主要源自于纸板或原纸的有关材料指标与技术性能。包装纸箱的功能主要取决于瓦楞纸板的楞型及楞型组合、厚度、等级、性能等。所以纸箱设计时，需要考虑形成瓦楞纸板的面纸、里纸、芯纸、夹芯纸（双层瓦楞板中）的定量（g/m2）、等级，及其配比组合。

我们不应忘记除了纸的克重，纸的致密度与质量等级也很重要。采用高克重面纸也许是提高纸板性能的最简单方法，但这样会使材料成本显著上升。为提高瓦楞纸板的性能而一味提高原纸的克重，从性价比角度看，不是好办法，因为瓦楞纸板中原纸的价格远高于瓦楞芯纸的价格。提高芯纸的质量等级或克重，但不增加太多成本，也可以显著改善瓦楞纸板的强度性能。

纸箱箱型标准中0900系列为纸箱内的各种隔档、衬垫、支撑件。合理运用这些附件，对提高瓦楞纸箱的整体抗压强度有很大的作用。可惜在我国纸箱制造业和用户中没有引起足够的重视，利用率很低，其实这是个成本低、省资源、有效果的设计选择。

纸箱相对用料率RS

在同样容积下，不同长宽高尺寸的0201型纸箱耗用纸板材料的情况显然是不同的。

由于受到实际使用条件的限制，真正选择0201箱型中最省料（按数学方法计算）的长宽高比例2:1:2的情况不多。如能对大量使用的各种尺度的箱体进行简单的相对用料率计算，以判断制造该种纸箱时材料消耗率，则很有实际意义。

所谓相对用料率，即某种纸箱材料消耗相对于最省料箱体（2:1:2）材料消耗的比率。